בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳ – שאלה 7חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 40
בגרות 571 · קיץ 2024 מועד ב׳ · שאלה 7
שיעור 40 – בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳ – שאלה 7
פרק 4 – 10 בגרויות 571: חקירת פונקציה טריגונומטרית
1נוסח השאלה
2סעיף א – זוגית או אי־זוגית
3סעיף ב – הערכים של b
4סעיף ג – הערך של b
5סעיף ד – נקודות הקיצון
6סעיף ה (1) – סקיצה של f
7סעיף ה (2) – סקיצה של f′
8סעיף ו – השטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (b + cos x) sin x , המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π , b הוא פרמטר.
א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
נתון כי לגרף הפונקציה f(x) יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־x .
ב. לפניכם שלוש אפשרויות I–III לערכים של b . קבעו איזו אפשרות יכולה להתאים לפונקציה f(x) , ונמקו את קביעתכם.
📄 נוסח השאלה · המשך
I. b = 0 II. 0 < b < 1 III. 1 ≤ b
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) , כאשר cos x = 14 , הוא (−58) .
ג. מצאו את הערך של b .
הציבו b = 1 בפונקציה f(x) , וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) .
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) .
נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = (f(x))2 · f′(x) . הפונקציה g(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π .
ו. חשבו את השטח ברביע הראשון, המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x .
סעיף א – זוגית או אי־זוגית
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = (b + cos x) sin x
נציב −x במקום x :
f(−x) = (b + cos(−x)) sin(−x)
cos(−x) = cos x
📐 זווית נגדית
f(−x) = (b + cos x)(−sin x)
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
sin(−x) = −sin x
sin(−x) = −sin x
סעיף א – זוגית או אי־זוגית · המשך
f(−x) = (b + cos x)(−sin x)
f(−x) = −(b + cos x) sin x
f(−x) = −f(x)
קיבלנו f(−x) = −f(x) , ולכן הפונקציה אי־זוגית.
📐 פונקציה אי־זוגית
✅ פתרון סופי: הפונקציה אי־זוגית
📐 פונקציה אי־זוגית
f(−x) = −f(x)
סעיף ב – הערכים של b
נקודות החיתוך עם ציר ה־x : f(x) = 0 .
(b + cos x) sin x = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 . בתחום הנתון:
x = −π , x = 0 , x = π
📐 פתרון המשוואה sin x = 0
כבר יש שלוש נקודות חיתוך. לכן האפשרות השנייה לא יכולה להוסיף אף נקודה חדשה.
אפשרות 2:
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = 0
x = πk
סעיף ב – הערכים של b · המשך
אפשרות 2:
b + cos x = 0
cos x = −b
נבדוק כל אחת מהאפשרויות:
I. b = 0 : cos x = 0 נותן x = ±π2 – עוד שתי נקודות, בסך הכול חמש. לא מתאים.
סעיף ב – הערכים של b · המשך
I. b = 0 : cos x = 0 נותן x = ±π2 – עוד שתי נקודות, בסך הכול חמש. לא מתאים.
II. 0 < b < 1 : cos x = −b , ו־−1 < −b < 0 . למשוואה יש שני פתרונות בתחום (אחד חיובי ואחד שלילי) – בסך הכול חמש נקודות. לא מתאים.
III. 1 ≤ b : אם b > 1 אז −b < −1 , ואין פתרון. אם b = 1 אז cos x = −1 , כלומר x = ±π – נקודות שכבר נספרו. בשני המקרים יש בדיוק שלוש נקודות. מתאים ✓
סעיף ב – הערכים של b · המשך
III. 1 ≤ b : אם b > 1 אז −b < −1 , ואין פתרון. אם b = 1 אז cos x = −1 , כלומר x = ±π – נקודות שכבר נספרו. בשני המקרים יש בדיוק שלוש נקודות. מתאים ✓
✅ פתרון סופי: אפשרות III – 1 ≤ b
סעיף ג – הערך של b
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת. נגזור לפי כלל המכפלה, עם u = b + cos x ו־v = sin x :
u′ = −sin x , v′ = cos x
📐 נגזרות
u′ · v = −sin x · sin x
📐 נגזרת של מכפלה
u′ · v = −sin2x
u · v′ = (b + cos x) cos x
u · v′ = b cos x + cos2x
📐 נגזרות
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = −sin x
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של מכפלה
(u · v)′ = u′ · v + u · v′
סעיף ג – הערך של b · המשך
u · v′ = b cos x + cos2x
מחברים:
f′(x) = −sin2x + b cos x + cos2x
נתון cos x = 14 . נמצא את sin2x :
sin2x = 1 − cos2x
📐 זהות יסודית
sin2x = 1 − (14)2 = 1 − 116 = 1516
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ג – הערך של b · המשך
sin2x = 1 − (14)2 = 1 − 116 = 1516
נכתוב את הנגזרת:
f′(x) = −sin2x + b cos x + cos2x
נציב (והשיפוע הוא −58):
sin2x = 1516 , cos x = 14 , cos2x = 116
−1516 + b · 14 + 116 = −58
סעיף ג – הערך של b · המשך
−1516 + b · 14 + 116 = −58
−1416 + b4 = −58
b4 = 1416 − 1016 = 416
b4 = 14
b = 1
בדיקה: עבור b = 1 : −1516 + 14 + 116 = −1016 = −58 ✓
סעיף ג – הערך של b · המשך
בדיקה: עבור b = 1 : −1516 + 14 + 116 = −1016 = −58 ✓
✅ פתרון סופי: b = 1
סעיף ד – נקודות הקיצון
נציב b = 1 בנגזרת מסעיף ג:
f′(x) = −sin2x + cos x + cos2x
כדי שתהיה רק פונקציה אחת (cos x), נציב sin2x = 1 − cos2x :
f′(x) = −(1 − cos2x) + cos x + cos2x
📐 זהות יסודית
f′(x) = 2cos2x + cos x − 1
משווים ל־0:
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ד – נקודות הקיצון · המשך
משווים ל־0:
2cos2x + cos x − 1 = 0
📐 נקודת קיצון
זו משוואה ריבועית שבה הנעלם הוא cos x :
cos x = −1 ± √(1 + 8)4
📐 נוסחת השורשים
cos x = −1 ± 34
cos x = 12 או cos x = −1
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 נוסחת השורשים
t = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ד – נקודות הקיצון · המשך
cos x = 12 או cos x = −1
אפשרות 1: cos x = 12 . הזווית היא π3 :
x = ±π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
בתחום −π ≤ x ≤ π : x = π3 , x = −π3 .
אפשרות 2: cos x = −1 . בתחום: x = ±π – אלה קצות התחום.
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל קטע:
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ד – נקודות הקיצון · המשך
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל קטע:
f′(−π2) = 2 · 0 + 0 − 1 = −1 < 0
f′(0) = 2 · 1 + 1 − 1 = 2 > 0
f′(π2) = 2 · 0 + 0 − 1 = −1 < 0
שיעור ה־y – נכתוב את הפונקציה (עם b = 1):
סעיף ד – נקודות הקיצון · המשך
שיעור ה־y – נכתוב את הפונקציה (עם b = 1):
f(x) = (1 + cos x) sin x
נציב x = π3 :
f(π3) = (1 + cos π3) sin π3
cos π3 = 12 , sin π3 = √32
📐 ערכים מיוחדים
f(π3) = 32 · √32 = 3√34 ≈ 1.30
📐 ערכים מיוחדים
cos π3 = 12
sin π3 = √32
sin π3 = √32
סעיף ד – נקודות הקיצון · המשך
f(π3) = 32 · √32 = 3√34 ≈ 1.30
הפונקציה אי־זוגית (סעיף א), ולכן:
f(−π3) = −3√34 ≈ −1.30
נציב את קצות התחום x = ±π :
f(±π) = (1 + cos ±π) sin ±π
f(±π) = (1 − 1) · 0 = 0
סעיף ד – נקודות הקיצון · המשך
f(±π) = (1 − 1) · 0 = 0
✅ פתרון סופי:
מקסימום (π3 , 3√34)
מינימום (−π3 , −3√34)
מקסימום קצה (−π , 0)
מינימום קצה (π , 0)
מקסימום (π3 , 3√34)
מינימום (−π3 , −3√34)
מקסימום קצה (−π , 0)
מינימום קצה (π , 0)
סעיף ה (1) – סקיצה של f
מה אנחנו יודעים (סעיפים א, ד):
• הגרף יוצא מ־(−π , 0) ויורד למינימום (−π3 , −1.30) .
• עולה דרך הראשית (0 , 0) עד המקסימום (π3 , 1.30) .
• יורד עד (π , 0) . הגרף סימטרי ביחס לראשית (אי־זוגית).
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה (2) – סקיצה של f′
נחקור את f′(x) = 2cos2x + cos x − 1 כמו כל פונקציה.
נקודות האפס (סעיף ד): x = ±π3 , x = ±π . מסימני הנגזרת בסעיף ד: f′ חיובית בין −π3 ל־π3 ושלילית מחוץ להן.
הנגזרת של f′ – כדי למצוא את הנקודה הגבוהה ואת הנמוכה ביותר של f′ :
f′′(x) = 4cos x · (−sin x) − sin x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
f′′(x) = −sin x (4cos x + 1)
−sin x (4cos x + 1) = 0
📐 מכפלה שווה 0
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ה (2) – סקיצה של f′ · המשך
−sin x (4cos x + 1) = 0
📐 מכפלה שווה 0
sin x = 0 : x = 0 , ±π .
4cos x + 1 = 0 :
cos x = −14
במחשבון (מצב רדיאנים, R על המסך): SHIFT cos ( − 1 ÷ 4 ) =
x ≈ ±1.82
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ה (2) – סקיצה של f′ · המשך
x ≈ ±1.82
נכתוב את f′ ונציב בה cos x = −14 :
f′(x) = 2cos2x + cos x − 1
f′(±1.82) = 2 · 116 + (−14) − 1
f′(±1.82) = 18 − 28 − 88 = −98
ובשאר הנקודות:
סעיף ה (2) – סקיצה של f′ · המשך
ובשאר הנקודות:
f′(0) = 2 · 1 + 1 − 1 = 2
f′(±π) = 2 · 1 − 1 − 1 = 0
בין שתי נקודות כאלה f′ רק עולה או רק יורדת. לכן משמאל לימין: מ־0 ב־x = −π יורדת ל־−98 , עולה דרך −π3 עד 2 ב־x = 0 , ובצד ימין הכול סימטרי (f′ זוגית).
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ו – השטח
שלב 1 – איפה g מעל ציר ה־x. (f(x))2 ≥ 0 תמיד, ולכן הסימן של g הוא הסימן של f′ .
מסעיף ד: בתחום 0 ≤ x ≤ π הנגזרת חיובית כאשר 0 < x < π3 ושלילית כאשר π3 < x < π .
בקצוות הקטע הזה g(0) = g(π3) = 0 . לכן השטח ברביע הראשון (מעל ציר ה־x) הוא בין x = 0 ל־x = π3 :
S = ∫0π3 (f(x))2 · f′(x) dx
📐 שטח מתחת לגרף
📐 שטח מתחת לגרף
S = ∫ab g(x) dx כאשר g ≥ 0
סעיף ו – השטח · המשך
S = ∫0π3 (f(x))2 · f′(x) dx
📐 שטח מתחת לגרף
שלב 2 – פונקציה קדומה. בתוך האינטגרל יש f בחזקה 2 כפול הנגזרת שלה f′ . לכן נשתמש בכלל השרשרת בכיוון ההפוך:
∫ f2 · f′ dx = f33 + C
📐 אינטגרל של פונקציה בחזקה כפול הנגזרת שלה
S = (f(π3))33 − (f(0))33
נציב f(π3) = 3√34 (סעיף ד) ו־f(0) = 0 :
S = 13 · (3√34)3 − 13 · 03
📐 שטח מתחת לגרף
S = ∫ab g(x) dx כאשר g ≥ 0
📐 אינטגרל של פונקציה בחזקה כפול הנגזרת שלה
∫ u2 · u′ dx = u33 + C
סעיף ו – השטח · המשך
S = 13 · (3√34)3 − 13 · 03
(3√34)3 = 27 · 3√364 = 81√364
S = 13 · 81√364
S = 27√364 ≈ 0.73
✅ פתרון סופי: S = 27√364 ≈ 0.73
📌 סיכום התשובות
סעיף א
אי־זוגית
סעיף ב
אפשרות III
סעיף ג
b = 1
סעיף ד
מקס. (π3 , 3√34)
מינ. (−π3 , −3√34)
מקס. קצה (−π , 0)
מינ. קצה (π , 0)
מינ. (−π3 , −3√34)
מקס. קצה (−π , 0)
מינ. קצה (π , 0)
סעיף ה
סקיצות
סעיף ו
S = 27√364 ≈ 0.73
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא